Discussion:Équation cubique

Les mathématiciens persans

Omar Khayyam n'étudie pas seulement le cas des coefficients positifs, il étudie tous les cas. Seulement, il ne notera pas x³ + p.x - q = 0, mais x³ + p.x = q. Khayyam considère 14 cas canoniques qu'il étudie (cf R. Rashed Entre arithmétique et algèbre : recherches sur l'histoire des mathématiques arabes Paris, Les Belles lettres (1984)), par exemple. Jean-Luc W (d) 28 décembre 2008 à 19:01 (CET)

Tartaglia

Bravo Anne pour la refonte.

Concernant Tartaglia, il y a suffisamment d'ouvrages sérieux pour se passer des sources actuellement présentes dans l'article (blog - sites persos). Il est à mon avis inutile et dangereux de donner trop de précision sur une anecdote qui date de 5 siècles.

• La source la plus centrée est probablement le livre de Gerard Hamon et Lucette Degryse Niccolò Tartaglia. Questions et inventions diverses Livre IX ou l'invention de la résolution des équations du troisième degré. Niccolò Tartaglia, mathématicien autodidacte de la Renaissance italienne. dont on peut lire des extraits (30 pb déposés devant notaire avec comme condition de savoir résoudre les problèmes posés, Fior pose 30 questions identiques, Tartaglia les résout. Tartaglia pose 30 questions variées, Fior ne les résout pas)
• Ensuite il y a Tony Rothman, plutôt sérieux [1] (le défi, les 30 pbs, Fior tjs des équations x^3 + px = q, Tartaglia savait lui résoudre les équation x^3+px^2=q et trouve la solution aux problèmes de Fior dans la nuit du 12/13 février 1535, le prix : 30 banquets)
• Serfati plutôt sérieux aussi [2], 30 question, les banquets, résolution le 12/13 février la forme des équation de Fior
• les livres maintenant
  • histoire des sciences mathématiques-1840, (les 30 questions, la forme des équations de Fior, le jour de la découverte, la date limite de dépot)
  • Le Mot qui tue: Une histoire des violences intellectuelles de l'Antiquité à nos jours - 2009 ( les 30 questions, la forme des équations de Fior, la date de résolution, le prix de 30 banquets)
  • Histoire de la littérature de l'Europe: pendant les quinzième, seizième et dix-septième siècles-1839 (le défi, la forme des équations des pb de Tataglia),
  • Duel at Dawn-2010 (le défi, la date limite de dépot des solutions 22 février, le notaire, les banquets)
  • Algebra in Ancient and Modern Times (le défi, les banquets, la date de découverte, la forme des équations de Fior)
• Intéressant aussi cette série d'articles de la MAA[3], et ces Notes fugitives sur l'équation du troisième degré de Pierre Costabel.

Je pense qu'il faut se limiter au consensuel. Supprimer la somme d'argent, les 40 jours, garder la forme des équations de Fior, remplacer 30 équations par 30 problèmes, supprimer les sources lavau, Lycée international, math 93, Serge Mehl (qui est le seul à écrit que del Ferro aurait confié sa résolution à Tartaglia)

Concernant d'autre part les défis entre Ferrari et Tartaglia, non sourcé dans l'article, ils ne sauraient se résumer à « Ce dernier défie Tartaglia, qui accepte un débat public en 1548, dans une église à Milan devant quelques personnalités, y compris le gouverneur de Milan. Malgré son inexpérience en public, Ferrari fit une meilleure prestation que Tartaglia qui déclara forfait. » si l'on en croit cette analyse d'ouvrage.

Dernière observation: il serait bon d'indiquer quelque part que les formules ne donnent pas de solutions explicites à l'aide de radicaux réels dans le cas de trois solutions réelles car elles demandent d'extraire la racine cubique d'un complexe. Ce que l'on ne sait, en général, pas faire autrement que par la trisection de l'angle.

Comme c'est toi qui a pris en charge cette refonte, je te laisse faire. HB (discuter) 6 septembre 2018 à 17:49 (CEST)

Merci HB, j'aimerais mieux que tu prennes la relève. J'avais juste tâché de fusionner l'existant avec des choses mises par erreur dans Fonction cubique, et j'ai fini. Je vais m'occuper de la méthode de Lagrange. Anne , 7/9/18, 20 h 31 p.s. j'étais contente dès que je t'ai vue réapparaître !

Définition et signe du discriminant

Le fait qu'il y ait deux définitions possibles du discriminant, de signe différent, avec ou sans le coefficient de normalisation ${\frac {(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}}{a_{n}}}$ risque de poser un problème récurrent dans cet article. Ma question est donc double

• Comment empêcher les personnes de modifier seulement l'analyse du signe en laissant l'autre forme du discriminant
• L plus part des source donnent le dicriminant dans le cas où a = 1(et même b=0=). Ne faudrait-il pas pour le moins mettre une source consultable et perenne associant la forme du discriminant avec la discussion sur le signe ?

HB (discuter) 1 octobre 2019 à 07:47 (CEST)

Et si on repartait de la définition officielle, à savoir le résultant de P et P´ ?--Dfeldmann (discuter) 1 octobre 2019 à 14:15 (CEST)

Le problème, c'est qu'il n'existe pas une définition officielle du discriminant mais au moins 4

• Pour Lelong-Ferrand arnaudies T1, p. 206 c'est le résultant de P, P'. Elle est la seule à présenter alors le discriminant du polynôme du troisième degré. Mais, j'ai noté au crayon, depuis plusieurs années, qu'il y avait, à mon avis, un problème de signe, car elle donne :$a(18abcd-4b^{3}d+b^{2}c^{2}-4ac^{3}-27a^{2}d^{2})$ alors que, selon mes calculs, elle devrait trouver $-a(18abcd-4b^{3}d+b^{2}c^{2}-4ac^{3}-27a^{2}d^{2})$
• Par Aviva Spirglas, mathématiques L3, algèbre, p. 568, c'est ${\frac {(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}}{a_{0}}}R(A,A')$ où $a_{0}$ est le coeff du terme de degré n. Spirglas n'en parle pas pour le polynôme de degré 3. Mais c'est la version choisie dans wikipedia Discriminant.
• pour Daniel Perrin, dans son cours sur résultant et discriminant, p.16 , c'est $\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j})^{2}$ où $x_{k}$ sont les n racines du polynôme, soit la version de Spirglas divisée par $a_{0}^{2n-2}$. Mais Perrin dit aussi que certains prennent $\prod _{i\neq j}(x_{i}-x_{j})$ ce qui correspond à sa version multipliée par $(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}$

Toutes ces expressions s'annulent pour les mêmes polynômes mais ont des valeurs et des signes différents quand elles ne s'annulent pas. Alors quelle est LA version officielle?

Actuellement l'expression de notre article correspond à celle de Spirglas et à celle de l'article Discriminant, elle est cohérente au point de vue signe, mais je n'ai pas trouvé de sources donnant discriminant et discussion du nombre de racines pour l'équation cubique non réduite. HB (discuter) 1 octobre 2019 à 17:15 (CEST)

Expression détaillée des solutions

Je reconnais le gros effort qu'a nécessité la mise en forme TeX de cette section mais elle ne me semble pas opportune pour de multiples raisons

• elle fait doublon avec la forme succinte "Expression générales" avec de nouvelles notations ce qui n'est jamais bon
• elle fait doublon avec le contenu de l'article méthode de Cardan
• la forme détaillée explicite des formules à partir des coefficients initiaux (a, b, c, d) donne des formules quasiment inexploitables. Nous en avons déjà discuté dans Discussion:Méthode de Cardan#Ajouter les formules générales

Qu'en pense les autres contributeurs de cette page? HB (discuter) 15 décembre 2023 à 08:57 (CET)

Bonjour,

Plutôt d'accord, surtout avec le deuxième point. On a des formules lourdes, mal présentées ici alors qu'elles sont mieux faites dans l'article détaillé.

OK pour le retrait pur et simple. Kelam (discuter) 15 décembre 2023 à 12:21 (CET)

 SARIAN Armen : L'avenir de la section sur l'expression détaillée des solutions est compromis. Il est probablement inutile de continuer de travailler dessus. HB (discuter) 16 décembre 2023 à 11:43 (CET)

Oui, je comprends et je m'en doutais. Souvent, sur Wikipedia, on n'aime pas mettre trop de calculs. Au fond, si on peut mettre moins d'expressions en posant des grandeurs, autant le faire.

Je pensais toutefois que mettre les solutions n'enlevait pas ce qui était marqué et permettait :

• de voir la forme des solutions finales ;
• de voir tout de suite si ça vaut le coup d'utiliser l'expression complète lorsqu'on a besoin d'exprimer les solutions ;
• de ne pas se tromper si on a les solutions explicitées (combien de fois ai-je oublié le -b/(3a) ou me suis-je trompé dans les signes ?).

Les livres avait jugé utile de mettre les solutions puisqu'on pouvait les lire.

Puisque cela a déjà été débattu, et comme cela ne correspond pas aux us et coutumes de Wikipedia, autant l'enlever si c'est cela que vous préférez.— Le message qui précède, non signé, a été déposé par SARIAN Armen (discuter)

Si tu peux citer un livre qui met les solutions explicitées à partir des coefficients a, b, c, d, cela pourrait justifier la présence ici (sans les démonstrations qui font doublon avec la méthode de Cardan). En effet, un de mes arguments pour refuser les formules c'est que les livres que je possède jugent tous que cela ne vaut pas la peine de les fournir à partir de a, b, c, d et ne les donnent qu'à partir de p et q (sans d'ailleurs souvent expliciter p et q en fonction de a, b, c, d). Je te laisse chercher une source de préférence consultable avant de supprimer. HB (discuter) 17 décembre 2023 à 20:11 (CET)

Non, justement. Le livre que j'avais vu explicitait :

• la transformation de Tschirnhaus ($x=z-{\frac {b}{3a}}$), puis :
• les solutions en fonction de p et q (racines cubiques et cosinus).

Je n'ai pas vu de livre qui donnent les solutions en fonction de a, b, c, d. SARIAN Armen (discuter) 17 décembre 2023 à 22:13 (CET)

En attendant, et au cas où on voudrait consulter l'historique, j'ai encore un peu amélioré.

Bilan provisoire de ma recherche de sources

• Personne n'utilise les notations $\Delta _{0},\Delta _{1},C$ et tout le monde travaille avec p et q donc la section Expression générale des solutions doit être corrigée
• ensuite dans le cas général (sans distinction réel ou complexe), les sources avancent en ordre dispersé pour définir u et v on trouve
  • Lelong-Ferrand qui donne

    $u={\sqrt[{3}]{\frac {-27q+{\sqrt {27\times (4p^{3}+27q^{2})}}}{2}}}$

    $v={\sqrt[{3}]{\frac {-27q-{\sqrt {27\times (4p^{3}+27q^{2})}}}{2}}}$

    en fait elle sort -27 de la racine carrée...

    $z_{1}={\frac {u+v}{3}}$, $z_{2}={\frac {ju+j^{2}v}{3}}$, $z_{3}={\frac {j^{2}u+jv}{3}}$

    en signalant que l'on prend une des racines cubiques, sans se soucier du bon appariement de u et v

  • Spirglas qui donne

    $u^{3}={\frac {-27q\pm {\sqrt {27\times (4p^{3}+27q^{2})}}}{2}}$ et $uv=-3p$

    le fait que le choix de plus ou moins ne fait qu'intervertir u et v a été traité au préalable

    et donne les racines $z_{1}={\frac {u+v}{3}}$, $z_{2}={\frac {ju+j^{2}v}{3}}$, $z_{3}={\frac {j^{2}u+jv}{3}}$

    L'auteur n'écrira les solutions sous la forme

    ${\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}}}}$

    $j{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}}}}+j^{2}{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}}}}$

    $j^{2}{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}}}}+j{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}}}}$

    que dans le cas où $4p^{3}+27q^{2}\geq 0$ en travaillant sur LA racine cubique d'un réel.

  • La Petite Encyclopédie des mathématiques éditions Didier donnent pour forme générale des racines

    ${\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}}}}$ en précisant au préalable que chacune de ces racines cubiques a trois valeurs possibles et qu'il faut les apparier pour que $uv=-p/3$

    Elle est la seule des trois auteurs à traiter le casus irréductibilis (trois racines réelles) par trissection de l'angle en posant

    $r=-{\sqrt {-p^{3}/27}}$, $\cos(\theta )={\frac {-q/2}{\sqrt {-p^{3}/27}}}$

    et à donner les racines $z_{k}=2{\sqrt[{3}]{r}}\cos \left({\frac {\theta +2k\pi }{3}}\right)$

Je pense qu'il faut

• refondre la partie Expression générales des solutons
• supprimer toute démonstration
• NE PAS METTRE les expressions en fonction de a, b, c, d sauf pour les valeurs de p et q (éventuellement donner la la valeur de $\Delta$ en fonction de p et q
• présenter effectivement le cas de la résolution dans R, pour l'inventaire des solutions réelles et des solutions complexes et le traitement du casus irréductibilis (mieux traité dans méthode de Cardan - modif du 20/12 HB (discuter) 20 décembre 2023 à 16:55 (CET))
• Reste ensuite le choix des présentations : j'avoue bien aimer la présentation de l'encyclopédie Didier. Ce qui permettra de conserver une partie du travail de SARIAN Armen

HB (discuter) 18 décembre 2023 à 16:23 (CET)

J'ai mis des boîtes déroulantes permettant d'avoir à la fois (parce qu'on veut un peu les deux) :

• d'avoir les expressions à partir de grandeurs posées pour faciliter la lecture et mémoriser la méthode
• d'avoir les expressions détaillées pour aussi avoir une idée des expressions finales

Mais il y a encore des doublons ($\Delta$ et $\Delta '$) et j'ai utilisé y au lieu du z utilisé dans Résolution.

Je n'ai pas encore touché à la partie Expression générales des solutions. SARIAN Armen (discuter) 19 décembre 2023 à 07:16 (CET)

J'ai fusionné Expression générales, Expression détaillées et Expression finales.

J'ai changé y et z.

J'ai remis le $\Delta$ pour que ce qui fasse partie de la démonstration y soit incorporé. SARIAN Armen (discuter) 19 décembre 2023 à 20:53 (CET)

 SARIAN Armen :: j'ai opéré un grand nettoyage car il y avait beaucoup de choses qui doublonnait avec l'article méthode de Cardan dans laquelle le principe de la méthode est expliqué et les formules pour le cas réel sont déjà données.

De plus la fusion mélangeait le cas général et le cas réel qui ne relèvent pas de la même problématique. Je m'appuie sur l'avis exprimé par Kelam. J'ai laissé ici l'expression avec le -b/3a et j'ai renvoyé vers méthode de Cardan#Formules de Cardan pour le reste. HB (discuter) 20 décembre 2023 à 16:52 (CET)

Oui, c'est bien aussi comme ça puisque c'est démontré dans l'article de la méthode de Cardan. SARIAN Armen (discuter) 20 décembre 2023 à 19:09 (CET)

Désolé pour mon erreur sur les variables, ce n'est pas la première fois que cela m'arrive sur Wikipedia. SARIAN Armen (discuter) 21 décembre 2023 à 07:55 (CET)

Méthode de Viete

 SARIAN Armen : : si tu veux rester homogène dans les notations, il vaudrait mieux poser

$y=u-{\frac {p}{3u}}$

et non

$y=z-{\frac {p}{3z}}$ et $u=z^{3}$

En effet dans le premier cas on arrive à l'équation

$(u^{3})^{2}+q(u^{3})-{\frac {p^{3}}{27}}=0$ qui a bien pour solutions $u={\sqrt[{3}]{-(q/2)\pm {\sqrt {(q/2)^{2}+(p/3)^{3}}}}}$ (valeur conforme aux formules plus bas)

Alors que dans le second cas on arrive à l'équation

$u^{2}+qu-{\frac {p^{3}}{27}}=0$ qui a pour solution $u=-(q/2)\pm {\sqrt {(q/2)^{2}+(p/3)^{3}}}$ (non conforme à ce qui a été décidé pour la valeur de u)

HB (discuter) 21 décembre 2023 à 09:02 (CET)

Voilà, j'ai corrigé. Heureusement qu'on est à plusieurs à se relire. SARIAN Armen (discuter) 21 décembre 2023 à 09:29 (CET)

C'est le principe de WP encyclopédie collaborative. HB (discuter) 21 décembre 2023 à 10:31 (CET)